Méthodes de détermination des lots (lot sizing)
Le problème de détermination des lots de commande est récurrent dans les industries. Sur la base des prévisions des ventes et des commandes fermes, le plan de production est établi. La question du planning des approvisionnements pour satisfaire les besoins nets de la production prend alors une place importante car les enjeux sont divers :
Si des techniques tel que le Juste à temps peuvent être utilisées pour la réduction des quantités de stocks, il reste néanmoins le problème de détermination de la taille des lots économiques de commande. Nous rappelons que le choix du modèle d’approvisionnement approprié permet de suivre le niveau des stocks et de planifier le lancement des commandes de matières.
La société AL-VAN, fabrique des tôles et utilise pour la production de l’aluminium. Le tableau suivant présente le résultat du calcul des besoins net en aluminium sur une période trimestrielle :
La question qui se pose est de savoir comment l’on va satisfaire ses différents besoins. L’idéal pour le gestionnaire est de mettre sur pieds une politique d’approvisionnement qui, en fin de période lui donnera le coût d’approvisionnement global le plus bas. Pour ce faire, on utilise les différentes méthodes quantitatives, on calcule le coût global d’approvisionnement fournie par chacune, et par comparaison on retient la méthode la plus favorable en termes de coût et de délais.
Les méthodes quantitatives de détermination des lots de commandes les plus connues sont les suivantes :
Il s’agit de lancer l’approvisionnement de la quantité exacte requise pour chaque période
Le modèle du lot économique est adapté pour des produits dont la consommation est régulière et peu fluctuante. Le lot économique de commande Q est calculé selon la formule de Wilson. Cette formule tient compte du coût unitaire d’achat, du coût de possession des stocks et du coût de commande. Elle est expliquée en détail dans l’article sur la méthode du lot économique (Wilson). Une application de la formule de Wilson est présentée dans la fiche sur : La formule de Wilson (PDF).
Pour notre exemple, prenons les données de base sont les suivantes :
La formule de Wilson nous donne une quantité économique de commande Q = 110 T. Le planning des approvisionnements est présenté dans le tableau suivant :
Il s’agit de déterminer une quantité fixe de lot de commande sur la base de critères autres que ceux employés dans la formule de Wilson. Diverses raisons peuvent être à l’origine de son utilisation :
Dans notre exemple, nous avons une moyenne de consommation hebdomadaire d’environs 63 T. Notre transporteur dispose de camions d’une capacité de 30 T. Par ailleurs, la zone de stockage dédiée a une capacité limitée à 70 T. Nous prévoyons alors de passer des commandes par lot de 60 T. Le résultat est présenté dans le tableau suivant :
Pour éviter une rupture de stock à la semaine 6, une double commande a été passée durant la semaine 5. Nous remarquons à cette étape que le nombre de commande augment lorsque la taille du lot diminue. Il faut donc ajuster cette dernière de manière à obtenir un coût optimal d’approvisionnement.
Il s’agit de lancer des lots commandes équivalents au moins à la somme des besoins nets pour (N) périodes. (N) dans le cas présent est invariable. Le choix de cette méthode est généralement influencé par des délais d’approvisionnement longs (achat à l’international) pour une consommation régulière.
La société AL-VAN décide de lancer à chaque fois une commande permettant de couvrir ses besoins mensuels. Son planning d’approvisionnement (programme de livraison du fournisseur) se présente tel qu’il suit :
A la différence du modèle des besoins périodiques fixes, cette méthode a pour but de planifier la livraison des commandes sur des périodes fixes. (Ex : une commande livrée à la fin de chaque mois). Les quantités Q de commandes peuvent être évaluées avant chaque commande, en fonction de la variabilité des consommations.
En considérant un programme de livraison qui prévoit une livraison tous les quatre mois, on obtient le tableau suivant :
Adaptée au processus de production discontinue, cette méthode tient compte de deux éléments : le coût de lancement (cL) et le coût de possession du stock de matière (cP). On part du principe suivant :
Si la société AL-VAN lance la production pour satisfaire la demande des périodes n, n+1, n+2… m, le coût global qui en résulte est calculé suivant la formule C (n,m) = cL + cP(n,m). La quantité de matière utile pour couvrir les besoins de la production doit être disponible en totalité avant le lancement.
Toute commande ou un ordre de fabrication lancé à la période (n) doit couvrir la demande des périodes n à m. la valeur de (m) est choisi de telle sorte que le coût de possession cP(n,m) associés au lot soit aussi proches que possible du coût de lancement cL.
Si la société AL-VAN se fait livrer à la période 1 pour couvrir les besoins des périodes 1 à m, on a :
Puisque cL = 8 USD est plus proche de 8,85 que de 20,55, la livraison à la période 1 servira à couvrir les besoins des périodes 1, 2 et 3, soit 157 unités. En répétant cette formule à partir de la période 4, on obtient le programme de livraison suivant :
Presque similaire dans la forme au modèle d’équilibrage, la méthode de Silver et Meal part d’un autre principe. Pour un coût global C(n,m) de lot correspondant au besoin des périodes n à m, on considère un coût moyen C(n,m)/m. Lorsque la valeur de m varie à la hausse, ce coût moyen est d’abord décroissant jusqu’à un seuil ( car, coût de lancement amorti sur plusieurs périodes) puis il commence à croître (car, coûts de possession de plus en plus élevés).
Pour notre exemple, reprenons les données de base précédentes :
Si la société AL-VAN se fait livrer à la période 1 pour couvrir les besoins des périodes 1 à m, on a :
C(n,m) = cL + cP (n,m)
Le seuil minimum du Coût moyen est atteint pour une valeur de m = 3. La commande passée à la période 1 devra donc couvrir les besoins des périodes 1 à 3. On reprend ensuite cette formule à partir de la période 4, pour établir le programme des livraisons.
C’est une méthode de calcul de la taille des lots de commande par programmation dynamique. Il s’agit d’un algorithme qui part d’un principe un peu complexe. Considérant le coût optimal Copt (1, n) supporté pour satisfaire la demande des périodes 1 à n en supposant une production régulière, différents scénarios sont testés pour déterminer le coût optimal.
Le coût optimal des périodes précédentes est pris en compte pour calculer d’une manière récursive celui des périodes futures. En commençant par la première période, on a :
Pour tout Copt (1, n), tant que le minimum des expressions est égal à la valeur C(1, n) contenue dans les crochets, on poursuit le calcul. On l’arrête lorsque C(1,n) n’est plus cette valeur minimum.
Dans notre exemple, si C(1, 4) > Copt(1, 4), alors on choisira Copt (1, 3), soit un lot de commande permettant de couvrir les besoin des périodes 1 à 3. Puis le calcul reprend à zéro pour les périodes suivantes.
Il est essentiellement orienté vers le profit que l’on pourrait faire sur le coût d’approvisionnement pour un fournisseur qui offre des prix dégressifs en fonction des quantités commandées. En d’autres termes, lorsque la quantité de commande augmente, le coût unitaire diminue. Mais bien sûr, il y a un seuil minimum au delà duquel le prix unitaire ne saurait descendre.
Par principe, on calcule le coût global (coût de lancement + coût de possession). On ramène ensuite cette valeur au coût unitaire (coût global / lot de commande)
La question est de savoir si en augmentant dans la commande de la période n, les besoins de la période n+1, on bénéficie d’un coût unitaire minimum. En cumulant ainsi les périodes, on finit par retenir le lot qui offre un coût unitaire le plus bas. Puis le calcul reprend.
Le principe de ce modèle est identique à celui du coût minimum global. A la différence que la valeur du coût global n’est pas ramenée au coût unitaire. Au lancement de la commande d’une période, on ajoute successivement les besoins des périodes suivantes. On retient un nombre m de périodes pour lesquelles le coût global est minimum. Le calcul recommence ensuite pour les périodes suivantes.
 |
Le problème de détermination des lots de commande est récurrent dans les industries. Sur la base des prévisions des ventes et des commandes fermes, le plan de production est établi. La question du planning des approvisionnements pour satisfaire les besoins nets de la production prend alors une place importante car les enjeux sont divers :
- Commander des quantités optimales. Ni trop peu, ni trop importantes
- Eviter des ruptures de stock de matières. Car cela pourrais entrainer un arrêt de la production et des retards de livraisons ;
- Eviter de faire des stocks importants. Ils sont source d’immobilisations financières, et de coûts supplémentaires (coûts des magasins, coûts de stockage …). Penser à ne pas dépasser la capacité de stockage des magasins ;
- Tenir compte de la durée de stockage. La tenu en stock de certaines matières durant une période prolongée peut occasionner des avaries ;
- Tenir compte du coût global d’approvisionnement (emballage, transport, stockage). Des commandes en petites quantités multiplient le nombre de transport, de manutentions et accroissent par conséquent le coût d’approvisionnement.
Si des techniques tel que le Juste à temps peuvent être utilisées pour la réduction des quantités de stocks, il reste néanmoins le problème de détermination de la taille des lots économiques de commande. Nous rappelons que le choix du modèle d’approvisionnement approprié permet de suivre le niveau des stocks et de planifier le lancement des commandes de matières.
A- Modélisation du problème
La société AL-VAN, fabrique des tôles et utilise pour la production de l’aluminium. Le tableau suivant présente le résultat du calcul des besoins net en aluminium sur une période trimestrielle :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Approvisionnement | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| Stock final |
La question qui se pose est de savoir comment l’on va satisfaire ses différents besoins. L’idéal pour le gestionnaire est de mettre sur pieds une politique d’approvisionnement qui, en fin de période lui donnera le coût d’approvisionnement global le plus bas. Pour ce faire, on utilise les différentes méthodes quantitatives, on calcule le coût global d’approvisionnement fournie par chacune, et par comparaison on retient la méthode la plus favorable en termes de coût et de délais.
B- Les méthodes de détermination de la taille des lots
Les méthodes quantitatives de détermination des lots de commandes les plus connues sont les suivantes :
- Le modèle du lot-pour-lot (Lot for Lot ).
- Le modèle du lot économique (E.O.Q - Economic order quantity).
- Le modèle de la quantité fixe (F.O.Q - Fixed order quantity).
- Le modèle des besoins périodiques fixes (F.R.P - Fixed period requirement)
- Le modèle du nombre de périodes fixe (P.O.Q - Period Order Quantity).
- Le modèle d’équilibrage des coûts de lancement et de possession (P.P.B - Part Period Balancing).
- La méthode de Silver et Meal.
- La méthode de Wagner et Whitin.
- Le modèle du coût unitaire optimal (L.U.C - Least unit cost)
- Le modèle du coût global minimum (L.T.C - Least total cost)
- Le modèle du lot économique (E.O.Q - Economic order quantity).
- Le modèle de la quantité fixe (F.O.Q - Fixed order quantity).
- Le modèle des besoins périodiques fixes (F.R.P - Fixed period requirement)
- Le modèle du nombre de périodes fixe (P.O.Q - Period Order Quantity).
- Le modèle d’équilibrage des coûts de lancement et de possession (P.P.B - Part Period Balancing).
- La méthode de Silver et Meal.
- La méthode de Wagner et Whitin.
- Le modèle du coût unitaire optimal (L.U.C - Least unit cost)
- Le modèle du coût global minimum (L.T.C - Least total cost)
B1- Le modèle du lot-pour-lot (Lot for Lot ).
Il s’agit de lancer l’approvisionnement de la quantité exacte requise pour chaque période
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Approvisionnement | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock final | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
B2- Le modèle du lot économique (EOQ - Economic order quantity).
Le modèle du lot économique est adapté pour des produits dont la consommation est régulière et peu fluctuante. Le lot économique de commande Q est calculé selon la formule de Wilson. Cette formule tient compte du coût unitaire d’achat, du coût de possession des stocks et du coût de commande. Elle est expliquée en détail dans l’article sur la méthode du lot économique (Wilson). Une application de la formule de Wilson est présentée dans la fiche sur : La formule de Wilson (PDF).
Pour notre exemple, prenons les données de base sont les suivantes :
- N = nombre total d’unités consommées pour la période = 753 T
- L = coût de lancement d’une commande = 8 USD
- t = taux de possession du stock = 5%
- c = coût unitaire de l’article = 10 USD/T
La formule de Wilson nous donne une quantité économique de commande Q = 110 T. Le planning des approvisionnements est présenté dans le tableau suivant :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock initial | 0 | 76 | 9 | 63 | 95 | 33 | 63 | 8 | 77 | 8 | 38 | 92 |
| Approvisionnement | 110 | 110 | 110 | 110 | 110 | 110 | 110 | |||||
| Stock final | 76 | 9 | 63 | 95 | 33 | 63 | 8 | 77 | 8 | 38 | 92 | 17 |
B3- Le modèle de la quantité fixe (F.O.Q - fixe Fixed order quantity).
Il s’agit de déterminer une quantité fixe de lot de commande sur la base de critères autres que ceux employés dans la formule de Wilson. Diverses raisons peuvent être à l’origine de son utilisation :
- Exigence du fournisseur qui ne vend ses produits que par lot ;
- Contrainte des unités de transport (conteneur complet, camion complet…) ;
- Contraintes de stockage (Capacité limité) ;
- Décision stratégique (Contrat….).
Dans notre exemple, nous avons une moyenne de consommation hebdomadaire d’environs 63 T. Notre transporteur dispose de camions d’une capacité de 30 T. Par ailleurs, la zone de stockage dédiée a une capacité limitée à 70 T. Nous prévoyons alors de passer des commandes par lot de 60 T. Le résultat est présenté dans le tableau suivant :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock initial | 0 | 26 | 19 | 23 | 5 | 62 | 42 | 47 | 66 | 57 | 37 | 41 |
| Approvisionnement | 60 | 60 | 60 | 60 | 120 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 | 60 |
| Stock final | 26 | 19 | 23 | 5 | 63 | 43 | 48 | 67 | 58 | 38 | 42 | 27 |
Pour éviter une rupture de stock à la semaine 6, une double commande a été passée durant la semaine 5. Nous remarquons à cette étape que le nombre de commande augment lorsque la taille du lot diminue. Il faut donc ajuster cette dernière de manière à obtenir un coût optimal d’approvisionnement.
B4- Le modèle des besoins périodiques fixes (F.R.P - Fixed period requirement)
Il s’agit de lancer des lots commandes équivalents au moins à la somme des besoins nets pour (N) périodes. (N) dans le cas présent est invariable. Le choix de cette méthode est généralement influencé par des délais d’approvisionnement longs (achat à l’international) pour une consommation régulière.
La société AL-VAN décide de lancer à chaque fois une commande permettant de couvrir ses besoins mensuels. Son planning d’approvisionnement (programme de livraison du fournisseur) se présente tel qu’il suit :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock initial | 0 | 201 | 134 | 78 | 238 | 176 | 96 | 41 | 280 | 211 | 131 | 75 |
| Approvisionnement | 235 | 238 | 280 | |||||||||
| Stock final | 201 | 134 | 78 | 238 | 176 | 96 | 41 | 280 | 211 | 131 | 75 | 0 |
B5- Le modèle du nombre de périodes fixe (P.O.Q - Period Order Quantity).
A la différence du modèle des besoins périodiques fixes, cette méthode a pour but de planifier la livraison des commandes sur des périodes fixes. (Ex : une commande livrée à la fin de chaque mois). Les quantités Q de commandes peuvent être évaluées avant chaque commande, en fonction de la variabilité des consommations.
En considérant un programme de livraison qui prévoit une livraison tous les quatre mois, on obtient le tableau suivant :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock initial | 0 | 263 | 196 | 140 | 62 | 325 | 245 | 190 | 149 | 280 | 200 | 144 |
| Approvisionnement | 297 | 325 | 200 | |||||||||
| Stock final | 263 | 196 | 140 | 62 | 325 | 245 | 190 | 149 | 280 | 200 | 144 | 69 |
B6- Le modèle d’équilibrage des coûts de lancement et de possession (P.P.B - Part Period Balancing).
Adaptée au processus de production discontinue, cette méthode tient compte de deux éléments : le coût de lancement (cL) et le coût de possession du stock de matière (cP). On part du principe suivant :
Si la société AL-VAN lance la production pour satisfaire la demande des périodes n, n+1, n+2… m, le coût global qui en résulte est calculé suivant la formule C (n,m) = cL + cP(n,m). La quantité de matière utile pour couvrir les besoins de la production doit être disponible en totalité avant le lancement.
| Le modèle d’équilibrage dans sa représentation graphique s’inspire du modèle de Wilson. Partant du fait que le coût global est optimal lorsque le coût de lancement est égal au coût de possession du stock, on recherchera à déterminer les périodes n à m pour lesquelles les valeurs de cL et cP sont approximativement égales. Pour notre exemple, reprenons les données de base suivantes :
| | |||
Toute commande ou un ordre de fabrication lancé à la période (n) doit couvrir la demande des périodes n à m. la valeur de (m) est choisi de telle sorte que le coût de possession cP(n,m) associés au lot soit aussi proches que possible du coût de lancement cL.
Si la société AL-VAN se fait livrer à la période 1 pour couvrir les besoins des périodes 1 à m, on a :
- m = 1, alors cP(1,1) = 0
- m = 2, alors cP(1,2) = 67 x 5% = 3,35 USD
- m = 3, alors cP(1,3) = 3,35 + (56x10%) = 8,85 USD
- m = 4, alors cP(1,4) = 8,85 + (78 x 15%) = 20,55 USD
Puisque cL = 8 USD est plus proche de 8,85 que de 20,55, la livraison à la période 1 servira à couvrir les besoins des périodes 1, 2 et 3, soit 157 unités. En répétant cette formule à partir de la période 4, on obtient le programme de livraison suivant :
| Semaine | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Besoins nets | 34 | 67 | 56 | 78 | 62 | 80 | 55 | 41 | 69 | 80 | 56 | 75 |
| Stock initial | 0 | 123 | 56 | 220 | 142 | 80 | 165 | 110 | 69 | 211 | 131 | 75 |
| Approvisionnement | 157 | 220 | 165 | 211 | ||||||||
| Stock final | 123 | 56 | 220 | 142 | 80 | 165 | 110 | 69 | 211 | 131 | 75 | 0 |
B7- La méthode de Silver et Meal.
Presque similaire dans la forme au modèle d’équilibrage, la méthode de Silver et Meal part d’un autre principe. Pour un coût global C(n,m) de lot correspondant au besoin des périodes n à m, on considère un coût moyen C(n,m)/m. Lorsque la valeur de m varie à la hausse, ce coût moyen est d’abord décroissant jusqu’à un seuil ( car, coût de lancement amorti sur plusieurs périodes) puis il commence à croître (car, coûts de possession de plus en plus élevés).
Pour notre exemple, reprenons les données de base précédentes :
- N = nombre total d’unités consommées pour la période = 753 T
- L = coût de lancement d’une commande = 8 USD
- t = taux de possession du stock = 5%
- c = coût unitaire de l’article = 10 USD/T
Si la société AL-VAN se fait livrer à la période 1 pour couvrir les besoins des périodes 1 à m, on a :
C(n,m) = cL + cP (n,m)
- m = 1, alors C(1,1)/1 = 8 USD
- m = 2, alors C(1,2)/2 = 5,7 USD
- m = 3, alors C(1,3)/3 = 5,6 USD
- m = 4, alors C(1,4)/4 = 7,1 USD
Le seuil minimum du Coût moyen est atteint pour une valeur de m = 3. La commande passée à la période 1 devra donc couvrir les besoins des périodes 1 à 3. On reprend ensuite cette formule à partir de la période 4, pour établir le programme des livraisons.
B8- La méthode de Wagner et Whitin.
C’est une méthode de calcul de la taille des lots de commande par programmation dynamique. Il s’agit d’un algorithme qui part d’un principe un peu complexe. Considérant le coût optimal Copt (1, n) supporté pour satisfaire la demande des périodes 1 à n en supposant une production régulière, différents scénarios sont testés pour déterminer le coût optimal.
Le coût optimal des périodes précédentes est pris en compte pour calculer d’une manière récursive celui des périodes futures. En commençant par la première période, on a :
Copt (1, 1) = cL (coût de lancement)
Copt (1, 2) = min [Copt (1, 1) + C(2, 2), C(1, 2)]
Copt (1, 3) = min [Copt (1, 2) + C(3, 3), Copt (1, 1) + C(2, 3), C(1, 3)]
Copt (1, 4) = min [Copt (1, 3) + C(4, 4), Copt (1, 2) + C(3, 4), C(1, 1) + C(2, 4), C(1, 4)]
Etc.
Copt (1, 2) = min [Copt (1, 1) + C(2, 2), C(1, 2)]
Copt (1, 3) = min [Copt (1, 2) + C(3, 3), Copt (1, 1) + C(2, 3), C(1, 3)]
Copt (1, 4) = min [Copt (1, 3) + C(4, 4), Copt (1, 2) + C(3, 4), C(1, 1) + C(2, 4), C(1, 4)]
Etc.
Pour tout Copt (1, n), tant que le minimum des expressions est égal à la valeur C(1, n) contenue dans les crochets, on poursuit le calcul. On l’arrête lorsque C(1,n) n’est plus cette valeur minimum.
Dans notre exemple, si C(1, 4) > Copt(1, 4), alors on choisira Copt (1, 3), soit un lot de commande permettant de couvrir les besoin des périodes 1 à 3. Puis le calcul reprend à zéro pour les périodes suivantes.
B9- Le modèle du coût unitaire optimal (L.U.C - Least unit cost)
Il est essentiellement orienté vers le profit que l’on pourrait faire sur le coût d’approvisionnement pour un fournisseur qui offre des prix dégressifs en fonction des quantités commandées. En d’autres termes, lorsque la quantité de commande augmente, le coût unitaire diminue. Mais bien sûr, il y a un seuil minimum au delà duquel le prix unitaire ne saurait descendre.
Par principe, on calcule le coût global (coût de lancement + coût de possession). On ramène ensuite cette valeur au coût unitaire (coût global / lot de commande)
La question est de savoir si en augmentant dans la commande de la période n, les besoins de la période n+1, on bénéficie d’un coût unitaire minimum. En cumulant ainsi les périodes, on finit par retenir le lot qui offre un coût unitaire le plus bas. Puis le calcul reprend.
B10- Le modèle du coût global minimum (L.T.C - Least total cost)
Le principe de ce modèle est identique à celui du coût minimum global. A la différence que la valeur du coût global n’est pas ramenée au coût unitaire. Au lancement de la commande d’une période, on ajoute successivement les besoins des périodes suivantes. On retient un nombre m de périodes pour lesquelles le coût global est minimum. Le calcul recommence ensuite pour les périodes suivantes.
0 commentaires:
Enregistrer un commentaire